1) kunstmatig geconstrueerde wereld (rechten en cirkels)

2) constructies: niet in hun concrete verwezenlijking beschouwd, maar enkel in de mate waarin ze aan de definities beantwoorden

3) beperkt zich tot gedefinieerde, volmaakte vormen  evidente uitspraken doen die in ‘postulaten’ en ‘gemeenschappelijke inzichten’ worden geëxpliciteerd

4) grondstellingen  kettingen vormen van gelijkheden of gelijke verhoudingen en op die manier nieuwe stellingen bewijzen

5) overtuiging dat de geconstrueerde wereld samenhangend is (cf. reductio ad absurdum)

>>> leren deze constructies door onze geest iets over de werkelijke ruimte rondom ons?(2 voorwaarden)

• postulaten over de constructiemogelijkheid van de cirkel en de rechte mogen niet intern contradictorisch zijn
• figuren die in de zintuiglijke wereld gerealiseerd worden, moeten minstens bij benadering de eigenschappen van de meetkundige constructies bezitten

• Thales van Milete

= eerste Griekse wiskundige  liet eerste vorm van bewijsvoering berusten op het ‘evidente feit’ dat dingen die kunnen samenvallen aan elkaar gelijk zijn

• Volgende stap: definiëren

Figuren die men tekent moeten gedefinieerd worden zodat de stellingen niet meer over concrete tekeningen, maar over bedachte constructies gaan  resultaten neerschrijven om ze bij volgende bewijzen als vaststaand te kunnen gebruiken

>>> dialoogmethode = factor die ertoe leidt de uitgangspunten te preciseren:

• eerst grondslag van onenigheid zoeken
• uitmaken over welke grondslagen en definities men het wel eens is
• daarvan uitgaande: eigen standpunt bewijzen of dat van de tegenstrever weerleggen

• Euklides

Samenvallen = criterium voor gelijkheid  een van zijn axioma’s

• Belang van definities

Grieken gaven slechts aan de cirkel en de rechte een definitie wordt gegeven die op een intuïtieve zekerheid gebaseerd is

 wilden alle figuren die men kon indenken construeren bij middel van cirkels en rechten (= dmv ideale passer en liniaal)

Drie beroemdste constructieproblemen:

1. driedeling van een hoek
2. verdubbeling van de kubus
3. kwadratuur van de cirkel

Volgende stappen

• bewijzen van rekenkundige stellingen
• bewijs door reductio ad absurdum (= als men kan bewijzen dat uit een bewering haar tegendeel volgt,dan mag die redenering als ongeldig worden beschouwd)
• bestaan van irrationele getallen
  • leer van verhoudingen en evenredigheden

 samenbrengen van samenhangende stellingen tot steeds grotere gehelen (cf. Euklides: één enkel axiomastelsel in zijn Elementa)

Westerse wiskunde = gekenmerkt door:

- bewijsvoeringen

- het streven naar systematisering: onderbrengen van de resultaten in 1 samen hangende geheel

• Politieke en economische factoren:(Griekenland)

TEN EERSTE

• verregaande eenheid in taal en cultuur
• grote politieke verdeeldheid: onafhankelijke stadstaten

 ruime culturele uitwisseling is mogelijk

 starre eenvormige traditie wordt vermeden

TEN TWEEDE

• volksvergadering die alle burgers omvatte

 vrijheid van denken en spreken

 tendens tot discussie

• dialectische methode = argumentering in dialoogvorm

TEN DERDE

door de handel: ontstaan klasse van welvarende burgers

 ontstaan vrije tijd die gebruikt werd voor het beluisteren van poëzie en muziek

Inleiding

Streven naar betrouwbare kennis: wiskunde = ideaal

Wijsbegeerte = poging om dit ideaal te benaderen, daar waar het niet volledig bereikbaar is

 onderzoek naar de wordingsgeschiedenis van de denkmethodes  inzicht in de karakteristieken en hinderpalen ervan

Opm: het westerse denken is gekarakteriseerd door het feit dat de wijsbegeerte en de wiskunde tegelijk zijn ontstaan